Notas del Primer parcial de Algebra 1

Nombres / Nota

1. Tapia, Pedro Ariel 2.5

2. Quinteros, Brenda 1

3. Brodersen, Romina 4

4. Ruartes, Johana 1

5. Herrera Gisela 1

6. Figueroa Acevedo, Daniel 3

7. Montivero, Romina 4

8. Ávila, María 3

9. Atencio, María 4

10. Herrera, Hernán 1

11. Ochoa, Silvio 1

12. Gunsett, Carlos 2.5

13. Mercado Cabello, Susana 1

14. Oropera, Iván 1.5

15. Villafañe, Yesica 1

16. Sotelo, María 3.5

17. Flores, Romina 3

18. Romero Coronel, Kanna 3

19. Reyes, Sandra 5.5

20. Chumbita, Cristian 2.5

21. Asís, Alfredo 6

22. Flores, Dante 1

23. Castro, Graciela 4.5

24. Frojel, Rita 4

25. Vergara, Jonatán 3

26. Pereyra, Raúl 4

27. Azcurra, Nadia 1

28. Ruarte, Leandro 4

29. 4Villagra, Yanina 4

30. Oyola, Ivana 4.5

31. Aguirre, Ana 3

32. Callizaya, Johanna 2

33. Oviedo, Hernán 4

34. Oblando, María 4

35. Toboada Ornella 4.5

36. Moreno, Beatriz 3.5

37. Rodriguez Balenzuela, María 3

38. Salazar, Eva 4

39. Mercado, Javier 4

40. Reyes, Alicia 3.5

41. Palacios, Cecilia 2

42. Garcia, Maria 3

43. Monteagudo, Claudia 4

44. Vera, Natalia 5

45. Moreno, Gabriela 4

46. Andrada, Vilma 5

47. Rodriguez Diaz, Mayra 4.5

48. Gutierrez, Miguel 3

49. Rearte, Dorita 5

50. Brizuela Luis 2

Funciones

I.S.F.D. ALBINO SÁNCHEZ BARROS - PROFESORADO DE MATEMÁTICA
Funciones

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Ejercicios Resueltos

Queridos estudiantes, son varios los que acudieron a este medio para dejar en claro que mucho no entienden las demostraciones, y eso es razonable en un principio. A todos nos cuestan entender de un vamos algo que quizás nunca vimos, lo peligroso será quedarse en que no entiendo nada y dejarlo así, esto puede traer complicaciones en el futuro ya que no podríamos acceder a otros conocimientos. Para evitar que eso suceda de de parte nuestra dejamos algunos ejemplos hechos con los que les pueda servir, pero es importante que de parte de ustedes se esfuercen para poder entenderlos y resolver algunos de los que ya tienen, lo mismo dejaremos otros sin resolver para que practiquen. Dentro de poco tiempo haremos una guía de Trabajo Práctico.
EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

Este ejemplo esta dado en las actividades del la entrada anterior.

ACTIVIDADES REGLAS DE INFERENCIA Y DEMOSTRACION

En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones. Esto significa, que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover, o también de "todos los mamíferos son vertebrados" se puede concluir en "algunos mamíferos son vertebrados". Este proceso de pasar de un conjunto de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción.
Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Sabemos que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección. Justamente la lógica estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.


Depues de un pequeño comentario... Manos a la obra!!!

ACTIVIDAD 1: Demostrar la validez de los siguientes razonamientos lógicos aplicando reglas de inferencias conocidas.

Ejercicio N° 1
r → q
~p → ~q
r v t
~p
-------------
t

Ejercicio N° 2

p v q
t v s
t →(~p v ~r)
r
----------------
q v s

Ejercicio N° 3

p v q
t v s
t →(~p v ~r)
r
-----------------
q v s

ACTIVIDAD 2: Verificar por alguno de los métodos de inferencia, si cada uno de los argumentos es válido. Trasformar a lenguaje simbólico y justificar.
a) P1: Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana.
P2: María no es más baja que Juana.
P3: Si Juan y Luís tiene la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro.

Por lo tanto,
C: Juan y Luís no tienen la misma estatura.



b) P1: Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el carro de Andrés.
P2: Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el carro de Andrés
P3: O Andrés dice la verdad, o estaba en el edificio en el momento del crimen.
P4: El reloj está adelantado.

Por lo tanto,
C: Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen.

LECTURA OBLIGADA

ISFD “Albino Sánchez Barros”
PROFESORADO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA I
Año 2010
Profesores: Mónica Aballay – Alejandro Nieto

INFERENCIA LÓGICA
Conocidas las formas de las proposiciones (por ejemplo: p→q) y teniendo los instrumentos de simbolización a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una parte importante de la Lógica formal: inferencia y deducción. Las reglas de inferencia que rigen el uso de los términos de enlace (o conectivos lógicos) son muy simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprenden las reglas de un juego. El juego se juega con proposiciones, o fórmulas lógicas, nombre que se dará a las proposiciones simbolizadas. Se empieza con conjuntos de fórmulas que se denominan premisas. El objeto del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras fórmulas que se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. La conclusión que se obtiene se dice que es una consecuencia lógica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusión está permitido por una regla o por una ley lógica. La idea de inferencia se puede expresar de la manera siguiente: de premisas verdaderas se obtienen sólo conclusiones que son verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces a las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas.

Con frecuencia se aprende un juego nuevo, por ejemplo. Veamos algunos de inferencia antes de proseguir con las leyes formales. Se supone que se tienen dos premisas, la fórmula p→q y la fórmula p. Se sabe que estas premisas están dadas; es decir, se empieza diciendo que se ha dado p y que se ha dado p→q. ¿se puede sacar una conclusión de estas dos proposiciones? Es decir, ¿se puede idear otra proposición que se haya de ser cierta se las premisas con ciertas? La conclusión es clara se leen las premisas en la forma:
Si p entonces q, y p.

La primera proposición expresa que si se verifica p, entonces se verifica q, y la segunda dice que se verifica p. La conclusión es que se verifica q. la proposición q es consecuencia lógica de las premisas p y p→q.

Veamos ahora una inferencia de la misma forma, pero cuyo contenido se ha suplido por lenguaje corriente. La primera premisa es:

Si llueve, entonces el cielo ha de estar cubierto.

La segunda premisa es:
Llueve.

¿Qué conclusión se puede sacar de las dos premisas?
La respuesta es la conclusión “el cielo ha de estar cubierto”. Esta conclusión se puede inferir de las premisas dadas. Se discutirá a continuación de la regla particular de inferencia que permite deducir esta conclusión de las premisas.

Reglas de inferencia y demostración

Modus Ponendo Ponens. La regla de inferencia aplicada en el ejemplo precedente tiene un nombre latino, modus ponendo ponens. Consideremos algunos ejemplos del uso de esta regla en la deducción de conclusiones a partir de premisas.

Premisa 1. Si él está en el partido de fútbol, entonces él está en el estadio.
Premisa 2. Él está en el partido de fútbol.
Conclusión. Él está en el estadio.

Otro ejemplo:
Premisa 1. Si no hace frío, entonces los brotes no se helarán.
Premisa 2. No hace frío
Conclusión. Los brotes no se helarán.

Simbólicamente, el primer ejemplo se expresa así:
p1: p→q
p2: p
-------------------
por lo tanto: q


El segundo ejemplo se simboliza:
p1: ~p → ~q
p2: ~ p
-------------------
por lo tanto: ~q

Recuérdese que la regla se aplica a la forma de las proposiciones, o sea, que siempre que se dé una proposición y se dé precisamente el antecedente de aquel condicional, se sigue precisamente el consecuente. En todos los ejemplos que se dan a continuación se a0plica el modus ponendo ponens, tanto los antecedentes como los consecuentes que se utilizan pueden ser proposiciones atómicas (o simples) o moleculares( o compuestas):
a. :
p1: r→s
p2: r
-------------------
por lo tanto: s

b. :
p1: ~ r→s
p2: ~ r
-------------------
por lo tanto: s

c. :
p1: p → (q Ѵ r)
p2: p
-------------------
por lo tanto: q Ѵ r

El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la siguiente manera: Es la regla de inferencia es el método (modus), que afirma (ponens) el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente.
Bibliografía:
Suppes P., Hill S., Introducción a la lógica matemática, capítulo 2, editorial Reverté, edic. económica, 2004.